Μια συνάρτηση, με απλά λόγια, είναι ένας κανόνας που εκχωρεί μια μοναδική τιμή εξόδου σε κάθε τιμή εισόδου. Σκεφτείτε μια συνάρτηση ως μια μηχανή που παίρνει κάτι και σας δίνει κάτι άλλο. Για παράδειγμα, μια συνταγή είναι μια συνάρτηση που παίρνει συστατικά όπως αλεύρι, ζάχαρη και αυγά και σας δίνει ένα νόστιμο κέικ.

Φανταστείτε ότι έχετε μια συνάρτηση που παίρνει τον αριθμό των ωρών που μελετάτε και σας δίνει την αναμενόμενη βαθμολογία των εξετάσεων. Εάν μελετάτε για 2 ώρες, η συνάρτηση μπορεί να σας πει ότι θα λάβετε βαθμολογία 70%. Εάν μελετάτε για 4 ώρες, η συνάρτηση μπορεί να σας πει ότι θα λάβετε βαθμολογία 80%. Η λειτουργία είναι πάντα συνεπής, δίνοντάς σας την ίδια έξοδο για την ίδια είσοδο.

Οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σε όλα τα είδη πεδίων, από τη φυσική μέχρι την οικονομία και την επιστήμη των υπολογιστών. Είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση και τη διαμόρφωση των σχέσεων μεταξύ των πραγμάτων.

Το όριο μιας συνάρτησης είναι η τιμή που προσεγγίζει η συνάρτηση καθώς η είσοδος x πλησιάζει όλο και περισσότερο σε μια συγκεκριμένη τιμή. Σκεφτείτε το ως το "τελικό σημείο" της συνάρτησης.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε ότι έχετε μια συνάρτηση που μας δίνει τα κέρδη μιας επιχείρησης σε σχέση με τον χρόνο. Αν θέλετε να μάθετε ποιά θα είναι τα κέρδη της επιχείρησης στο διηνεκές, δηλαδή μετά από πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα στο μέλλον, τότε πρέπει να πάρετε το όριο αυτής της συνάρτησης στο συν άπειρο. 

Τα όρια χρησιμοποιούνται σε διάφορους τομείς, όπως ο λογισμός, η φυσική και τα οικονομικά. Μας βοηθούν να κατανοήσουμε πώς συμπεριφέρονται οι συναρτήσεις καθώς οι είσοδοι πλησιάζουν σε συγκεκριμένες τιμές.

Οι συνεχείς συναρτήσεις είναι μια σημαντική κατηγορία συναρτήσεων που έχουν πολλές χρήσεις. Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x αν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι το όριο της συνάρτησης καθώς η είσοδός της πλησιάζει το x. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν παρουσιάζει "τρύπες" ή απότομα σκαμπανεβάσματα. 

Οι συνεχείς συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σε διάφορα πεδία των επιστημών, όπως η φυσική και η οικονομία. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις που περιγράφουν τη φυσική κίνηση είναι συνεχείς ως προς τον χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι αν εφαρμόσουμε τις αντίστοιχες ιδιότητες μπορούμε να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα για τον φυσικό κόσμο.  

Φανταστείτε ότι οδηγείτε αυτοκίνητο. Το ταχύμετρο σάς λέει πόσο γρήγορα πηγαίνετε ανά πάσα στιγμή. Η παράγωγος είναι σαν το ταχύμετρο για τις συναρτήσεις. Σας λέει πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση σε κάθε δεδομένο σημείο.

Ομίως, ας υποθέσουμε ότι έχετε μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύει το ύψος μιας μπάλας που πετάχτηκε στον αέρα, τότε η παράγωγος αυτής της συνάρτησης θα σας έλεγε την ταχύτητα της μπάλας κάθε δεδομένη στιγμή. 

Η παράγωγος είναι ένα ισχυρό εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων. Χρησιμοποιείται στη φυσική, τη μηχανική, την οικονομία και πολλούς άλλους τομείς.

Το ολοκλήρωμα είναι μια μαθηματική έννοια που με δύο λέξεις θα μπορούμε κανείς να το περιγράψει ώς το αντίστροφο της παραγώγου. 

Φανταστείτε ότι θέλετε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κύκλου. Επειδή δεν γνωρίζετε ακόμα κάποιον τύπο που να σας το βρίσκει, δουλεύετε ως εξης: Χωρίζετε τον κύκλο σε κατακόρυφες λεπτές λωρίδες και μετράτε το μήκος τους, μια προς μία. Αν πολλαπλασιάσετε το κάθε μήκος της λωρίδας με το αντίστοιχο πλάτος, τότε είναι βέβαιο ότι θα πάρετε μια πολύ καλή προσέγγιση της πραγματικής τιμής του εμβαδού του κύκλου. 

Κάπως έτσι λειτουργεί το ολοκλήρωμα και χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού κάτω από μια καμπύλη, του όγκου κάτω από μια επιφάνεια ή της ποσότητας υγρού που διαρρέει ένα σωλήνα.